Coribante

 

SEQUÊNCIAS REGULARES PARA 100%

     Às vezes temos necessidade prática de distribuir certos percentuais de qualquer quantidade no universo de cem por cento. O desconhecimento de fórmulas matemáticas próprias podem dificultar essa tarefa. Assim, propusemos expor as principais sequências nos quadros a seguir, utilizando apenas números inteiros. Adotamos intervalos fixos (empregando números pares ou ímpares) e intervalos progressivos (tanto decrescentes quanto crescentes), de forma exaustiva. Denominamos classes os divisores de 100 que permitem tais divisões. Inserimos notas nos próprios quadros (observações, procedimento) ou em notas de fim, explicando as métricas empregadas. Observe-se que o Quadro 1 tem duas partes. 

        Exemplo de consulta: se você quer saber quais os 5 números pares com intervalo de 4 números entre eles perfazem 100 (e 100% em termos percentuais) veja o número 5 na primeira coluna (número de classes) do Quadro 1; veja na coluna 'pares' na dupla coluna de 'intervalos fixos' o intervalo '04', que já traz a sequência procurada, sempre do maior para o menor número: 04 = 28-24-20-16-12.

QUADRO 1 - INTERVALOS PROGRESSIVOS DECRESCENTES

Seq.   Nº de Classes	INTERVALOS FIXOS		INTERVALOS PROGRESSIVOS (do maior para o menor; Nº = diferença inicial) [continua]
	Pares	Ímpares	DECRESCENTES (diferença entre os intervalos)
			1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	02 = 51-49([1]) 04 = 52-48([2])	Não há resultado par somando 2 nº, ímpar + par.	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica
3	Impossível porque 100/3 resulta número não inteiro (33,3...).	Não há resultado possível somando 3 nº, ímpar(es) + par(es).	02-01 = 35-33-32 03-02 = 36-33-31 ([3])	-	-	05-01 = 37-32-31 06-02 = 38-32-30  ([4])	-	-	08-01 = 39-31-30 09-0cfd2 = 40-31-29	-	-
4	02 = 28-26-24-22 04 = 31-27-23-19 06 = 34-28-22-16 08 = 37-29-21-13 10 = 40-30-20-10 12 = 43-31-19-07 14 = 46-32-18-04 16 = 49-33-17-01	Impossível porque 100/4 resulta número ímpar (25).	04-03-02=30-26-23-21 06-05-04=33-27-22-18 08-07-06=36-28-21-15 10-09-08=39-29-20-12 12-11-10=42-30-19-09 14-13-12=45-31-18-06 16-15-14=48-32-17-03 ([5])	06-04-02=32-26-22-20 08-06-04=35-27-21-17 10-08-06=38-28-20-14 12-10-08=41-29-19-11 14-12-10=44-30-18-08 16-14-12=47-31-17-05 18-16-14=50-32-16-02	08-05-02=34-26-21-19 10-07-04=37-27-20-16 12-09-06=40-28-19-13 14-11-08=43-29-18-10 16-13-10=46-30-17-07 18-15-12=49-31-16-04 20-17-14=52-32-15-01	10-06-02=36-26-20-18 12-08-04=39-27-19-15 14-10-06=42-28-18-12 16-12-08=45-29-17-09 18-14-10=48-30-16-06 20-16-12=51-31-15-03 ([6])	12-07-02=38-26-19-17 14-09-04=41-27-18-14 16-11-06=44-28-17-11 18-13-08=47-29-16-08 20-15-10=50-30-15-05 22-17-12=53-31-14-02	14-08-02=40-26-18-16 16-10-04=43-27-17-13 18-12-06=46-28-16-10 20-14-08=49-29-15-07 22-16-10=52-30-14-04 24-18-12=55-31-13-01 ([7])	16-09-02=42-26-17-15 18-11-04=45-27-16-12 20-13-06=48-28-15-09 22-15-08=51-29-14-06 24-17-10=54-30-13-03	18-10-02=44-26-16-14 20-12-04=47-27-15-11 22-14-06=50-28-14-08 24-16-08=53-29-13-05 26-18-10=56-30-12-02	20-11-02=46-26-15-13 22-13-04=49-27-14-10 24-15-06=52-28-13-07 26-17-08=55-29-12-04 28-19-10=58-30-11-01
5	02 = 24-22-20-18-16 04 = 28-24-20-16-12 06 = 32-26-20-14-08 08 = 36-28-20-12-04	01 = 22-21-20-19-18 05 = 30-25-20-15-10 07 = 34-27-20-13-06 09 = 38-29-20-11-02	04-03-02-01=26-22-19-17-16 05-04-03-02=28-23-19-16-14 06-05-04-03=30-24-19-15-12 07-06-05-04=32-25-19-14-10 08-07-06-05=34-26-19-13-08 09-08-07-06=36-27-19-12-06 10-09-08-07=38-28-19-11-04 11-10-09-08=40-29-19-10-02	07-05-03-01=30-23-18-15-14 08-06-04-02=32-24-18-14-12 09-07-05-03=34-25-18-13-10 10-08-06-04=36-26-18-12-08 11-09-07-05=38-27-18-11-06 12-10-08-06=40-28-18-10-04 13-11-09-07=42-29-18-09-02	10-07-04-01=34-24-17-13-12 11-08-05-02=36-25-17-12-10 12-09-06-03=38-26-17-11-08 13-10-07-04=40-27-17-10-06 14-11-08-05=42-28-17-09-04 15-12-09-06=44-29-17-08-02	13-09-05-01=38-25-16-11-10 14-10-06-02=40-26-16-10-08 15-11-07-03=42-27-16-09-06 16-12-08-04=44-28-16-08-04 17-13-09-05=46-29-16-07-02 ([8])	16-11-06-01=42-26-15-09-08 17-12-07-02=44-27-15-08-06 18-13-08-03=46-28-15-07-04 19-14-09-04=48-29-15-06-02	19-13-07-01=46-27-14-07-06 20-14-08-02=48-28-14-06-04 21-15-09-03=50-29-14-05-02	22-15-08-01=50-28-13-05-04 23-16-09-02=52-29-13-04-02	-	-
6	Impossível porque 100/6 resulta número não inteiro (16,6...).	Impossível porque 100/6 resulta número não inteiro (16,6...).	-	10-08-06-04-02 = 35-25-17-11-07-05	-	-	-	-	-	-	-
8	100/8 (12,5) não comporta sequência de 8 números.	01 = 16-15-14-13-12-11-10-09 03 = 23-20-17-14-11-08-05-02	Observações:   a) Classe indica o número de elementos a serem somados para atingir 100. Foram exemplificados 3 intervalos progressivos decrescentes e 3 crescentes sucessivos para 3 classes, visando a visualizar o padrão de cada um.   b) As sequências sem intervalos, isto é, baseadas nos divisores de 100 (entre parênteses o número de classes), são formadas por: 50 (2 [50-100]), 25 (4 [25-50-75-100]), 20 (5 [20-40-60-80-100]), 10 (10 [10-20-30-40-50-60-70-80-90- 100]), 5 (20 [5-10-15-20-25-30-35-40-45-50-55-60-65-70-75-80-85-90-95-100], 4 (25 [4-8-12-16-20-24-28-32-36-40-44-48-52-56-60-64-68-72-76-80-84-88-92-96-100]) e 2 (50 [números pares de 2 a 100]).   c) Foram descritos os padrões dos intervalos progressivos crescente e decrescente (nas notas de rodapé). O exaurimento se dá com o emprego do menor número possível à sequência.   d) Não existem intervalos progressivos (crescentes ou decrescentes) cujas sequências somem 100, acima de 6 classes.   e) As sequências apresentadas para 6, 8 e 10 classes são exaustivas. Não há sequências intervalares possíveis de números inteiros para 7, 9 e acima de 10 classes, neste caso, salvo as baseadas nos divisores de 100.
10	02 = 19-17-15-13-11-09-07-05-03-01	O quociente par de divisor par não permite sequência com intervalo ímpar.

Procedimento = Utilizam-se divisores de 100 para obtenção de sequências regulares de intervalos fixos que contenham 100%. Divide-se 100 pelo divisor; o resultado é o meio da sequência. Para obter os termos da sequência, reduzem-se números abaixo e ampliam-se acima, na mesma proporção.

 

 

Seq.   Nº de Classes	INTERVALOS PROGRESSIVOS (do maior para o menor; Nº = diferença inicial) [continuação]
	DECRESCENTES (diferença entre os intervalos)
	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
2		Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica
3	11-01 = 41-30-29 12-02 = 42-30-28	-	-	14-01 = 43-29-28 15-01 = 44-29-27	-	-	17-01 = 45-28-27 18-01 = 46-28-26	-	-	20-01 = 47-27-26 21-01 = 48-27-25	-	-
4	22-12-02=48-26-14-12 24-14-04=51-27-13-09 26-16-06=54-28-12-06 28-18-08=57-29-11-03	24-13-02=50-26-13-11 26-15-04=53-27-12-08 28-17-06=56-28-11-05 30-19-08=59-29-10-02	26-14-02=52-26-12-10 28-16-04=55-27-11-07 30-18-06=58-28-10-04 32-20-08=61-29-09-01	28-15-02=54-26-11-09 30-17-04=57-27-10-06 32-19-06=60-28-09-03	30-16-02=56-26-10-08 32-18-04=59-27-09-05 34-20-06=62-28-08-02	32-17-02=58-26-09-07 34-19-04=61-27-08-04 36-21-06=64-28-07-01	34-18-02=60-26-08-06 36-20-04=63-27-07-03	36-19-02=62-26-07-05 38-21-04=65-27-06-02	38-20-02=64-26-06-04 40-22-04=67-27-05-01	40-21-02=66-26-05-03	42-22-02=68-26-04-02	44-23-02=70-26-03-01

 

 

QUADRO 2 - INTERVALOS PROGRESSIVOS CRESCENTES

Seq.   Nº de Classes	INTERVALOS PROGRESSIVOS (do maior para o menor; Nº = diferença inicial)
	CRESCENTES (diferença entre os intervalos)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica	Não se aplica
3	-	01-03 = 35-34-31 02-04 = 36-34-30  ([9])	-	-	01-06 = 36-35-29 02-07 = 37-35-28  ([10])			01-09 = 37-36-27 02-10 = 38-36-26
4	02-03-04=29-27-24-20 04-05-06=32-28-23-17 06-07-08=35-29-22-14 08-09-10=38-30-21-11 10-11-12=41-31-20-08 12-13-14=44-32-19-05 14-15-16=47-33-18-02	02-04-06=30-28-24-18 04-06-08=33-29-23-15 06-08-10=36-30-22-12 08-10-12=39-31-21-09 10-12-14=42-32-20-06 12-14-16=45-33-19-03	02-05-08=31-29-24-16 04-07-10=34-30-23-13 06-09-12=37-31-22-10 08-11-14=40-32-21-07 10-13-16=43-33-20-04 12-15-18=46-34-19-01	02-06-10=32-30-24-14 04-08-12=35-31-23-11 06-10-14=38-32-22-08 08-12-16=41-33-21-05 10-14-18=44-34-20-02	02-07-12=33-31-24-12 04-09-14=36-32-23-09 06-11-16=39-33-22-06 08-13-18=42-34-21-03 ([11])	02-08-14=34-32-24-10 04-10-16=37-33-23-07 06-12-18=40-34-22-04 08-14-20=43-35-21-01	02-09-16=35-33-24-08 04-11-18=38-34-23-05 06-13-20=41-35-22-02	02-10-18=36-34-24-06 04-12-20=39-35-23-03	02-11-20=37-35-24-04 04-13-22=40-36-24-01	02-12-22=38-36-24-02
5	01-02-03-04=24-23-21-18-14 02-03-04-05=26-24-21-17-12 03-04-05-06=28-25-21-16-10 04-05-06-07=30-26-21-15-08 05-06-07-08=32-27-21-14-06 06-07-08-09=34-28-21-13-04 07-08-09-10=36-29-21-12-02	01-03-05-07=26-25-22-17-10 02-04-06-08=28-26-22-16-08 03-05-07-09=30-27-22-15-06 04-06-08-10=32-28-22-14-04 05-07-09-11=34-29-22-13-02	01-04-07-10=28-27-23-16-06 02-05-08-11=30-28-23-15-04 03-06-09-12=32-29-23-14-02	01-05-09-13=30-29-24-15-02	-	-	-	-	-	-
6	02-03-04-05-06 = 25-23-20-16-11-05	-	-	-	-	-	-	-	-	-

 

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[1] Até o limite de 99-01.

[2] Até o limite de 98-02; e assim sucessivamente, com os intervalos 6, 8, 10 etc. até 98 (01-99).

[3] Padrão: E assim sucessivamente, aumentando uma unidade no primeiro número, mantendo o número central e reduzindo uma unidade no último, até atingir a proporção de 33-32 = 66-33-01.

[4] Padrão: E assim sucessivamente, aumentando uma unidade no primeiro número, mantendo o número central e reduzindo uma unidade no último, até atingir a proporção de 35-31 = 67-32-01. Para 3 classes, só é possível o cálculo para sequências progressivas decrescentes com diferenças de intervalos de 1, 4, 7 etc. unidades (3 em 3). A cada um desses intervalos o número central diminui uma unidade (exemplos: intervalo 1, número central 33; intervalo 4, número central 32; intervalo 7, número central 31 etc.). O resultado é cada vez mais desproporcional se se manter o menor número como 1 e cada vez mais proporcional, se se aumentar o menor número. Possíveis, ainda, intervalos de 3 em 3, de 7 a 85, cada vez com menor número de sequências (no último intervalo, apenas 1).

[5] Para 4 e 6 classes não é possível a sequência contendo dois números ímpares, como 5-4-3, 7-6-5 etc.

[6] Padrão: A cada aumento de intervalo, a sequência destes aumenta em 2-1-0, mantendo o número final. Dentro do intervalo, estes aumentam em [+2][+2][+2] (o número central dos intervalos ímpares é ímpar). A cada aumento de intervalo a sequência final muda em [+2][0][-1][-1]. Dentro do intervalo, a sequência final muda em [+3][+1][-1][-3]. Observe os números finais em ordem repetitiva, 3, 2 e 1 e a redução do número de sequências a cada 3 delas (1 a 3: 7; 4 a 6: 7 a 9: 5; 10 a 12: 4; 13 a 15: 3; 16 a 18: 2; e 19 a 21: 1).

[7] Padrão: Os dígitos finais de cada intervalo decrescem em 3, 2 e 1, compreendendo 7 sequências nos intervalos de 1 a 3; 6 nos intervalos de 4 a 6; 5 nos intervalos de 7 a 9; 4 nos intervalos 10 a 12; 3 nos intervalos 13 a 15; 2 nos intervalos 16 a 18; e 1 no intervalo 19.

[8] Padrão: A cada aumento de intervalo, a sequência destes aumenta em 3-2-1-0, mantendo o número final. Dentro do intervalo, estes mudam em [+1][+1][+1][+1]. A cada aumento de intervalo a sequência final muda em [+4][+1][-1][-2][-2]. Dentro do intervalo, a sequência final muda em [+2][+1][0][-1][-2] (o número central dos intervalos é sempre o mesmo e reduzido de uma unidade a cada aumento de intervalo). Observe a redução sucessiva das sequências, de 8 (diferença 1), 7, 6, 5, 4, 3 até 2 (diferença 7). Número final é sempre 2.

[9]   Padrão: E assim sucessivamente, aumentando uma unidade no primeiro número, mantendo o número central e reduzindo uma unidade no último, até atingir a proporção de 31-33 = 65-34-01.

[10] Padrão: E assim sucessivamente, aumentando uma unidade no primeiro número, mantendo o número central e reduzindo uma unidade no último, até atingir a proporção de 29-34 = 64-35-01. Para 3 classes, só é possível o cálculo para sequências progressivas crescentes com diferenças de intervalos de 2, 5, 8 etc. unidades (3 em 3). A cada um desses intervalos o número central aumenta uma unidade (exemplos: intervalo 2, número central 34; intervalo 5, número central 35; intervalo 8, número central 36 etc.). O resultado é cada vez mais desproporcional se se mantiver o menor número como 1 e cada vez mais proporcional, se se aumentar o menor número. Possíveis, ainda, intervalos de 3 em 3, de 8 a 47, cada vez com menor número de sequências (no último intervalo, apenas 1).

[11] Padrão: A cada aumento de intervalo, a sequência destes aumenta em 0-1-2, mantendo o número inicial 02. Dentro do intervalo, estes aumentam em [+2][+2][+2] (o número central dos intervalos ímpares é ímpar). A cada aumento de intervalo a sequência final muda em [+1][+1][0][-2]. Dentro do intervalo, a sequência final muda em [+3][+1][-1][-3]. Observe a redução das sequências, de 7 (diferença 1), para 6, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 2 e 1, bem como os números finais na ordem 2, 3 e 1.